bootnoun.pages.dev






Tal till vänster om =

Olika typer från tal

[redigera]Räkneoperationer tillsammans med tal

Att jobba tillsammans med anförande innebär för att man utför enstaka rad räkneoperationer.

På tallinjen är alla tal som befinner sig till höger om talet $0$ de positiva talen och de som befinner sig till vänster är de negativa talen

dem primär existerar dem fyra räknesätten. denna plats följer några term såsom existerar god för att behärska på grund av för att förstå matematisk text:

När man adderar anförande är summan ej beroende från inom vilken ordning termerna adderas $$3+4+5=3+5+4=5+4+3=12\,\mbox{.}$$

När anförande subtraheras är självklart ordningen nödvändig $$=3 \quad \mbox{medan} \quad =-3\,\mbox{.}$$

Om oss pratar angående differensen mellan två anförande menar oss vanligtvis skillnaden mellan detta större samt detta mindre.

Således menar oss för att differensen mellan 2 samt 5 är 3.


När anförande multipliceras är ordningen mellan faktorerna ej betydande $$3 \cdot 4 \cdot 5=3 \cdot 5 \cdot 4=5 \cdot 4 \cdot 3= 60 \,\mbox{.}$$

Vid division är ordningen från innebörd $$\displaystyle \frac{6}{3}=2 \quad \mbox{medan} \quad \displaystyle\frac{3}{6} = 0{,}5 \,\mbox{.}$$

[redigera]Räkneordning inom formulering (Prioriteringsregler)

När flera räknesätt förekommer inom en matematiskt formulering är detta viktigt för att man besitter enstaka överenskommelse ifall inom vilken ordning operationerna bör utföras.

Följande gäller:

  • Parenteser (parentesen "längst in" först)
  • Multiplikation samt division (från vänster mot höger)
  • Addition samt subtraktion (från vänster mot höger)

Exempel 1

  1. $3-(2\cdot \bbox[#FFEEAA;,1pt]{(3+2)}-5) = 3-(\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}2\cdot 5}-5) = 3-\bbox[#FFEEAA;,1pt]{()} = = -2$
  2. $\cdot \bbox[#FFEEAA;,1pt]{(3+2)}-5 = 3-\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}2\cdot 5}-5 = \bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}}-5 = = $
  3. $\displaystyle 5+3\cdot\Bigl(5-\displaystyle\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\frac{-4}{2}}\Bigr)-3\cdot(2+\bbox[#FFEEAA;,1pt]{()}) = 5+3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(5-(-2))}-3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(2+(-2))}$
    $\qquad{}=5+3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(5+2)}-3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{()}=5+\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}3\cdot 7} - \bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}3\cdot 0} = 5+ = 26$

[redigera]"Osynliga" parenteser

Vid division bör täljare samt nämnare beräknas fanns för sig innan divisionen utförs.

Man kunna därför säga för att detta finns "osynliga parenteser" omkring täljare samt nämnare.

Exempel 2

  1. $\displaystyle \frac{7+5}{2} =\frac{12}{2} = 6$
  2. $\displaystyle \frac{6}{1+2} = \frac{6}{3} = 2$
  3. $\displaystyle \frac{12+8}{6+4} =\frac{20}{10} = 2$

Speciellt viktigt är detta nära användandet från miniräknare.

På tallinjen kan man också tydligt se om ett tal är mindre eller större än ett annat tal

Divisionen $$\displaystyle \frac{8+4}{2+4}$$

måste tecknas $(8 + 4 )/(2 + 4)$ på miniräknaren för för att detta korrekta svaret $2$ bör erhållas. en vanligt misstag är för att notera $8 + 4/2 + 4$, vilket från miniräknaren tolkas vilket $8 + 2 + 4 = 14$.

[redigera]Olika typer från tal

De anförande oss använder oss från för för att förklara antal samt mått, mm., kallas sammanfattningsvis för dem reella talen samt är kapabel illustreras tillsammans hjälp från ett tallinje:


dem reella talen "fyller" tallinjen, dvs.

inga hål alternativt mellanrum finns någonstans längs tallinjen.

Innehållet handlar om konceptet talbaser inom matematik

varenda punkt vid tallinjen förmå anges tillsammans med hjälp från enstaka resultat från decimaler. kvantiteten från dem reella talen existerar varenda decimaltal samt betecknas tillsammans med R. Tallinjen visar också talen inom storleksordning; en anförande mot höger är ständigt större än en anförande mot vänster.

Man brukar dela upp dem reella talen inom följande typer från tal:


Naturliga tal (symboliseras vanligen tillsammans bokstaven N)

De anförande såsom används när man räknar antal: 0, 1, 2, 3, 4,


Heltal (Z)

De naturliga talen samt deras negativa motsvarigheter: , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,


Rationella tal (Q)

Alla anförande såsom kunna tecknas liksom ett kvot mellan heltal (bråk), $$-\frac{3}{4},\ \frac{3}{2}, \ \frac{37}{}, \quad\mbox{o.s.v.}$$

Observera för att även heltalen räknas vilket rationella anförande, eftersom $$-1 = \frac{-1}{1},\quad 0 = \frac{0}{1},\quad 1 = \frac{1}{1},\quad 2 = \frac{2}{1},\quad\mbox{o.s.v.}$$

Ett rationellt anförande förmå tecknas på flera olika sätt, eftersom $$2 = \frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=\frac{8}{4}=\frac{}{50}=\frac{}{}\quad\mbox{o.s.v.}$$

Exempel 3

  1. för att multiplicera täljare samt nämnare hos en rationellt anförande tillsammans med identisk faktor kallas förlängning samt förändrar ej talets värde $$\frac{1}{3} = \frac{1\cdot 2}{3\cdot 2} = \frac{2}{6} = \frac{1\cdot 5}{3\cdot 5} =\frac{5}{15}\quad\mbox{o.s.v.}$$
  2. Att dividera täljare samt nämnare hos en rationellt anförande tillsammans med identisk anförande kallas förkortning samt förändrar ej heller talets värde $$\frac{75}{} =\frac{75/5}{/5} = \frac{15}{21} =\frac{15/3}{21/3} = \frac{5}{7} \quad\mbox{o.s.v.}$$

Irrationella tal

De anförande på tallinjen liksom ej kunna tecknas likt bråk kallas irrationella anförande.

modell på irrationella anförande är dem flesta rötter, likt $\sqrt{2}$ samt $\sqrt{3}$ dock även talet $\pi$

[redigera]Decimalform

Alla typer från reella anförande kunna tecknas på decimalform, tillsammans en godtyckligt antal decimaler. Decimalerna vilket skrivs mot höger angående decimalkommat anger antal tiondelar, hundradelar, tusendelar, osv., på identisk sätt likt siffrorna mot vänster ifall decimalkommat anger antalet ental, tiotal, hundratal, osv.

Exempel 4 $${,} = + + 30 + 4 + \frac{5}{10} + \frac{6}{} + \frac{7}{} + \frac{8}{}$$

Ett rationellt anförande kunna tecknas på decimalform genom för att utföra divisionen.

I uppgiften har vi talet 50 som vi ska göra om till ett tal i vårt vanliga talsystem, alltså det decimala talsystemet eller i bas Vi kikar på positionerna och ser vad de är värda: 50 är uppbyggt av två siffror och har alltså två positioner

Således är talet $ \frac{3}{4} $ identisk likt "3 dividerat tillsammans med 4", dvs. 0,

Läs angående liggande stolen vid wikipedia.

Exempel 5

  1. $\displaystyle\frac{1}{2} = 0{,}5 = 0{,}5\underline{0}$
  2. $\displaystyle\frac{1}{3} = 0{,} = 0{,}\underline{3}$
  3. $\displaystyle \frac{5}{12} = 0{,} = 0{,}41\underline{6}$
  4. $\displaystyle\frac{1}{7} =0{,} = 0{,}\underline{}$

(understrykningen markerar decimaler likt upprepas)

Som synes äger dem rationella talen ovan enstaka periodisk decimalutveckling, dvs.

decimalutvecklingen slutar ständigt tillsammans för att ett viss följd från decimaler återkomma inom all oändlighet.


  • tal mot vänster ifall =

    • Detta gäller för samtliga rationella anförande samt skiljer dessa från dem irrationella, vilka ej äger något periodiskt mönster inom sin decimalutveckling.

    Omvänt gäller också för att varenda anförande tillsammans enstaka periodisk decimalutveckling är rationella anförande.

    Exempel 6

    Talen $\pi$ samt $\sqrt{2}$ existerar irrationella anförande samt äger därför inget periodiskt mönster inom sin decimalutveckling.

    1. $\pi=3{,} \, \, \, \, \, \, \,\, \ldots $
    2. $\sqrt{2}=1{,} \, \, \, \, \, \, \,\, \ldots $

    Exempel 7

    1. $\displaystyle 0{,}\ldots = 0{,}6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $
    2. $\displaystyle 0{,}35 = \frac{35}{} = \frac{7}{20} $
    3. $\displaystyle 0{,} = \frac{25}{10\,} = \frac{1}{} $

    Exempel 8

    Talet $x=0{,}$ är rationellt, eftersom detta äger ett periodisk decimalutveckling.

    oss förmå nedteckna detta rationella anförande såsom enstaka kvot från numeriskt värde heltal på följande sätt

    Multiplicerar oss talet tillsammans med 10 förskjuts decimalkommat en steg åt motsats till vänster

    $\quad 10x = 2{,}\ldots$

    och multiplicerar oss talet tillsammans $10\cdot 10\cdot 10 = $ flyttas decimalkommat tre steg åt motsats till vänster

    $\quad x = {,}\ldots$

    Nu ser oss för att $x$ samt $10x$ äger identisk decimalutveckling sålunda differensen mellan talen

    $\quad x - 10x = {,}\ldots -2{,}\ldots $

    blir en heltal

    $\quad x = \mathrm{.}$

    Alltså existerar

    $\quad\displaystyle x =\frac{}{} = \frac{71}{}$

    [redigera]Avrundning

    Eftersom detta är opraktiskt för att räkna tillsammans med långa decimalutvecklingar så avrundar man ofta anförande mot en lämpligt antal decimaler.

    Överenskommelsen vilket gäller är för att siffrorna 0, 1, 2, 3 samt 4 avrundas nedåt medan 5, 6, 7, 8 samt 9 avrundas uppåt.


    oss använder symbolen $\approx$ (är ungefär lika med) för för att märka för att ett avrundning besitter skett.

    För att kunna skilja tal skrivna i olika baser från varandra brukar vi skriva ut talbasen i form av ett tal som står snett nedanför till höger om de övriga siffrorna i talet

    Exempel 9

    Avrundning mot 3 decimalers noggrannhet:

    1. $1{,} \approx 1,$
    2. $0{,} \approx 1{,}$
    3. $2{,} \approx 2{,}$
    4. $2{,} \approx 3{,}$

    Exempel 10

    Avrundning mot 4 decimalers noggrannhet:

    1. $\pi \approx 3{,} $
    2. $\displaystyle\frac{2}{3} \approx 0{,} $

    [redigera]Jämförelse från tal

    Man anger storleksförhållandet mellan anförande tillsammans hjälp från symbolerna > (är större än), < (är mindre än) samt = (är lika med).

    Storleksförhållandet mellan två anförande är kapabel avgöras dels genom för att notera talen inom decimalform, alternativt genom för att notera rationella anförande likt bråk tillsammans med gemensam nämnare.

    Exempel 11

    1. Vilket är störst från talen $\ \displaystyle \frac{1}{3}\ $ samt $\ 0,33$ ?

      oss besitter för att $$x =\frac{1}{3} = \frac{}{}\quad\text{och}\quad\displaystyle y = 0,33 =\frac{33}{} = \frac{99}{}\mathrm{.}$$ Alltså existerar $x>y$ eftersom $/ > 99/$.
      Alternativt således förmå man titta för att $1/3>0{,}33 $ eftersom $ 1/3=0{,}\ldots > 0{,}33$.
    2. Vilket anförande är störst från $\ \displaystyle \frac{2}{5}\ $och $\ \displaystyle \frac{3}{7}$ ?

      Skriv talen tillsammans med gemensam nämnare, $$\frac{2}{5} = \frac{14}{35}\quad\text{och}\quad\frac{3}{7} = \frac{15}{35}\mathrm{.}$$ Alltså existerar $\ \displaystyle\frac{3}{7}>\frac{2}{5}\ $ eftersom $\ \displaystyle \frac{15}{35} > \frac{14}{35}$.

    Övningar