bootnoun.pages.dev






Subtraktion av bråk med samma nämnare

1.2 Bråkräkning

Förberedande lektion inom matematik 1

Hoppa till: navigering, sök

       Teori          Övningar          Ja/Nej?      

Innehåll:

  • Addition samt subtraktion från bråktal
  • Multiplikation samt division från bråktal

Lärandemål:

Efter detta del bör ni äga lärt dig att:

  • Beräkna formulering vilket innehåller bråktal, dem fyra räknesätten samt parenteser.

  • Förkorta bråk därför långt liksom möjligt.
  • Bestämma minsta gemensamma nämnare (MGN).

Förlängning samt förkortning

Ett rationellt anförande är kapabel tecknas vid flera sätt, beroende vid vilken nämnare man väljer för att nyttja. Exempelvis äger oss för att

\displaystyle 0{,}25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = \frac{2}{8} = \frac{3}{12} = \frac{4}{16}\quad\textrm{osv.}

Värdet från en rationellt anförande ändras ej då man multiplicerar alternativt dividerar täljare samt nämnare tillsammans identisk anförande.

Dessa operationer kallas förlängning respektive förkortning.

När vi adderar och subtraherar bråk måste vi förlänga och förkorta bråktalen så att de ha samma nämnare innan vi kan utföra beräkningen

Exempel 1

Förlängning:

  1. \displaystyle \frac{2}{3} = \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5} = \frac{10}{15}
  2. \displaystyle \frac{5}{7} = \frac{5\cdot 4}{7\cdot 4} = \frac{20}{28}

Förkortning:

  1. \displaystyle \frac{9}{12} = \frac{9/3}{12/3} = \frac{3}{4}
  2. \displaystyle \frac{72}{108} = \frac{72/2}{108/2} = \frac{36}{54} = \frac{36/6}{54/6} = \frac{6}{9} = \frac{6/3}{9/3} = \frac{2}{3}

Man bör ständigt ange en bråk kortat sålunda långt likt möjligt.

Detta förmå artikel arbetsamt då stora anförande existerar inblandade, varför man redan beneath ett pågående beräkning bör försöka hålla bråk inom därför förkortad struktur såsom möjligt.

Addition samt subtraktion från bråk

Vid addition samt subtraktion från anförande inom bråkform måste bråken äga identisk nämnare. ifall sålunda ej existerar fallet måste man inledningsvis förlänga respektive bråk tillsammans lämpliga anförande sålunda för att gemensam nämnare erhålles.

Vid addition och subtraktion av tal i bråkform måste bråken ha samma nämnare

Exempel 2

  1. \displaystyle \frac{3}{5}+\frac{2}{3} = \frac{3\cdot 3}{5\cdot 3} + \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5} = \frac{9}{15} + \frac{10}{15} = \frac{9+10}{15} = \frac{19}{15}
  2. \displaystyle \frac{5}{6}-\frac{2}{9} = \frac{5\cdot 3}{6\cdot 3} - \frac{2\cdot 2}{9\cdot 2} = \frac{15}{18} - \frac{4}{18} = \frac{15-4}{18} = \frac{11}{18}

Det viktiga existerar på denna plats för att åstadkomma ett gemensam nämnare, dock man bör sträva efter för att hitta enstaka således nedsänkt gemensam nämnare likt möjligt.

Idealet existerar för att hitta den minsta gemensamma divisor (MGN). Man är kapabel ständigt erhålla enstaka gemensam nämnare genom för att multiplicera dem inblandade nämnarna tillsammans varandra. Detta existerar dock ej ständigt nödvändigt.

Exempel 3

  1. \displaystyle \frac{7}{15}-\frac{1}{12} = \frac{7\cdot 12}{15\cdot 12} - \frac{1\cdot 15}{12\cdot 15}\vphantom{\Biggl(}
    \displaystyle \insteadof{\displaystyle\frac{7}{15}-\frac{1}{12}}{}{} = \frac{84}{180}-\frac{15}{180} = \frac{69}{180} = \frac{69/3}{180/3} = \frac{23}{60}
  2. \displaystyle \frac{7}{15}-\frac{1}{12} = \frac{7\cdot 4}{15\cdot 4}- \frac{1\cdot 5}{12\cdot 5} = \frac{28}{60}-\frac{5}{60} = \frac{23}{60}
  3. \displaystyle \frac{1}{8}+\frac{3}{4}-\frac{1}{6} = \frac{1\cdot 4\cdot 6}{8\cdot 4\cdot 6} + \frac{3\cdot 8\cdot 6}{4\cdot 8\cdot 6} - \frac{1\cdot 8\cdot 4}{6\cdot 8\cdot 4}\vphantom{\Biggl(}
    \displaystyle \insteadof{\frac{1}{8}+\frac{3}{4}-\frac{1}{6}}{}{} = \frac{24}{192} + \frac{144}{192} - \frac{32}{192} = \frac{136}{192} = \frac{136/8}{192/8} = \frac{17}{24}
  4. \displaystyle \frac{1}{8}+\frac{3}{4}-\frac{1}{6} = \frac{1\cdot 3}{8\cdot 3} + \frac{3\cdot 6}{4\cdot 6} - \frac{1\cdot 4}{6\cdot 4} = \frac{3}{24} + \frac{18}{24} - \frac{4}{24} = \frac{17}{24}

Videosnutt ifall MGN

Man bör existera sålunda resehandling tränad inom huvudräkning för att man snabbt kunna hitta MGN ifall nämnarna existerar från rimlig storlek.

I sådana fall skriver vi differensen på ett gemensamt bråkstreck genom att vi subtraherar täljarna i de båda bråktalen och behåller deras gemensamma nämnare som den är

för att allmänt besluta den minsta gemensamma divisor kräver för att man studera vilka primtal liksom ingår liksom faktorer inom respektive nämnare.

Exempel 4

  1. Beräkna \displaystyle \ \frac{1}{60} + \frac{1}{42}.

    Delar oss upp 60 samt 42 inom därför små heltalsfaktorer vilket möjligt, sålunda förmå oss avgöra detta minsta heltal liksom existerar delbart tillsammans med 60 samt 42 genom för att multiplicera ihop deras faktorer dock undvika för att ta tillsammans på grund av flera från faktorerna likt talen äger gemensamt
    \displaystyle \left.\eqalign{60 &= 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cr 42 &= 2\cdot 3\cdot 7}\right\} \quad\Rightarrow\quad \text{MGN} = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 = 420\,\mbox{.}

    Vi förmå då nedteckna

    \displaystyle \frac{1}{60}+\frac{1}{42} = \frac{1\cdot 7}{60\cdot 7} + \frac{1\cdot 2\cdot 5}{42\cdot 2\cdot 5} = \frac{7}{420} + \frac{10}{420} =\frac{17}{420}\,\mbox{.}
  2. Beräkna \displaystyle \ \frac{2}{15}+\frac{1}{6}-\frac{5}{18}.

    Minsta gemensamma nämnare väljs sålunda för att den innehåller noggrann därför flera primtalsfaktorer därför för att den blir delbar tillsammans 15, 6 samt 18
    \displaystyle \left.

    \eqalign{15 &= 3\cdot 5\cr 6&=2\cdot 3\cr 18 &= 2\cdot 3\cdot 3} \right\} \quad\Rightarrow\quad \text{MGN} = 2\cdot 3\cdot 3\cdot5 = 90\,\mbox{.}

    Vi förmå då notera

    \displaystyle \frac{2}{15}+\frac{1}{6}-\frac{5}{18} = \frac{2\cdot 2\cdot 3}{15\cdot 2\cdot 3} + \frac{1\cdot 3\cdot 5}{6\cdot 3\cdot 5} - \frac{5\cdot 5}{18\cdot 5} = \frac{12}{90} + \frac{15}{90} - \frac{25}{90} = \frac{2}{90} = \frac{1}{45}\,\mbox{.}

Multiplikation

När en bråk multipliceras tillsammans en heltal, multipliceras endast täljaren tillsammans heltalet.

detta existerar tydlig för att ifall t.ex.

Exempelvis kan en addition av bråk se ut på följande vis

\displaystyle \tfrac{1}{3} multipliceras tillsammans 2 därför blir resultatet \displaystyle \tfrac{2}{3}, dvs.

\displaystyle \frac{1}{3}\cdot 2 = \frac{1\cdot 2}{3} = \frac{2}{3}\,\mbox{.}

Om numeriskt värde bråk multipliceras tillsammans med varandra, multipliceras täljarna tillsammans varandra samt nämnarna tillsammans varandra.

Exempel 5

  1. \displaystyle 8\cdot\frac{3}{7} = \frac{8\cdot 3}{7} = \frac{24}{7}
  2. \displaystyle \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{5} = \frac{2\cdot 1}{3\cdot 5} = \frac{2}{15}

Innan man genomför multiplikationen bör man ständigt granska angående detta existerar möjligt för att göra kortare bråket. Detta utförs genom för att stryka eventuella gemensamma faktorer inom täljare samt nämnare.

Exempel 6

Jämför uträkningarna:

  1. \displaystyle \frac{3}{5}\cdot\frac{2}{3} = \frac{3\cdot 2}{5\cdot 3} = \frac{6}{15} = \frac{6/3}{15/3} = \frac{2}{5}
  2. \displaystyle \frac{3}{5}\cdot\frac{2}{3} = \frac{\not{3}\cdot 2}{5\cdot \not{3}} = \frac{2}{5}

Att stryka treorna inom 6b innebär ju bara för att man minska bråket tillsammans 3 inom en tidigare skede.

Exempel 7

  1. \displaystyle \frac{7}{10}\cdot \frac{2}{7} = \frac{\not{7}}{10}\cdot \frac{2}{\not{7}} = \frac{1}{10}\cdot \frac{2}{1} = \frac{1}{\not{2} \cdot 5}\cdot \frac{\not{2}}{1} = \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{1} =\frac{1}{5}
  2. \displaystyle \frac{14}{15}\cdot \frac{20}{21} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 5}\cdot \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{2 \cdot \not{7}}{3 \cdot 5}\cdot \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot \not{7}} = \frac{2}{3 \cdot \not{5}}\cdot \frac{4 \cdot \not{5}}{3} = \frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3} = \frac{2\cdot 4}{3\cdot 3} = \frac{8}{9}

Division

Om \displaystyle \tfrac{1}{4} delas inom 2 därför blir svaret \displaystyle \tfrac{1}{8}.

Vid addition och subtraktion av bråk behöver du ofta först förlänga eller förkorta till samma nämnare

ifall \displaystyle \tfrac{1}{2} delas inom 5 därför blir resultatet \displaystyle \tfrac{1}{10}. oss besitter alltså för att

\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{2} = \frac{1}{4\cdot 2} = \frac{1}{8} \qquad \mbox{ samt } \qquad \frac{\displaystyle \frac{1}{2}}{5} = \frac{1}{2\cdot 5} = \frac{1}{10}\,\mbox{.}

När en bråk divideras tillsammans en heltal, multipliceras alltså divisor tillsammans med heltalet.

Exempel 8

  1. \displaystyle \frac{3}{5}\Big/4 = \frac{3}{5\cdot 4} = \frac{3}{20}
  2. \displaystyle \frac{6}{7}\Big/3 = \frac{6}{7\cdot 3} = \frac{2\cdot\not{3}}{7\cdot \not{3}} = \frac{2}{7}

När en anförande divideras tillsammans en bråk, multipliceras talet tillsammans med bråket inverterat ("uppochnervänt"). för att t.ex.

dividera tillsammans med \displaystyle \frac{1}{2} existerar ju identisk sak liksom för att multiplicera tillsammans med \displaystyle \frac{2}{1} dvs. 2.

Exempel 9

  1. \displaystyle \frac{3}{\displaystyle \frac{1}{2}} = 3\cdot \frac{2}{1} = \frac{3\cdot 2}{1} = 6
  2. \displaystyle \frac{5}{\displaystyle \frac{3}{7}} = 5\cdot\frac{7}{3} = \frac{5\cdot 7}{3} = \frac{35}{3}
  3. \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}}{\displaystyle \frac{5}{8}} = \frac{2}{3}\cdot \frac{8}{5} = \frac{2\cdot 8}{3\cdot 5} = \frac{16}{15}
  4. \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3}{4}}{\displaystyle \frac{9}{10}} = \frac{3}{4}\cdot \frac{10}{9} = \frac{\not{3}}{2\cdot\not{2}} \cdot\frac{\not{2} \cdot 5}{\not{3} \cdot 3} = \frac{5}{2\cdot 3} = \frac{5}{6}

Hur är kapabel bråkdivision förvandlas mot multiplikation?

På samma sätt som vi gjorde när vi adderade bråktal som har gemensamma nämnare kan vi göra om vi vill subtrahera

Förklaringen existerar för att angående en bråk multipliceras tillsammans sitt inverterade bråk blir produkten ständigt 1, t.ex.

\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2} = \frac{\not{2}}{\not{3}}\cdot\frac{\not{3}}{\not{2}} = 1 \qquad \mbox{eller} \qquad \frac{9}{17}\cdot\frac{17}{9} = \frac{\not{9}}{\not{17}}\cdot\frac{\not{17}}{\not{9}} = 1\mbox{.}

Om man inom enstaka bråkdivision förlänger täljare samt nämnare tillsammans med nämnarens inverterade bråk, får man ständigt 1 inom divisor samt resultatet blir täljaren multiplicerad tillsammans med den ursprungliga nämnarens inverterade bråk.

Exempel 10

\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}}{\displaystyle \frac{5}{7}} = \frac{\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\displaystyle \frac{7}{5}}{\displaystyle \frac{5}{7}\cdot\displaystyle \frac{7}{5}} = \frac{\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\displaystyle \frac{7}{5}}{1} = \frac{2}{3}\cdot\frac{7}{5}

Bråk såsom andelar

Rationella anförande existerar alltså anförande vilket förmå tecknas inom bråkform, omvandlas mot decimalform, alternativt indikeras vid enstaka tallinje.

inom vårt vardagliga språkbruk används även bråk då man beskriver andelar från något. denna plats nedan ges några modell. Lägg symbol mot hur oss använder termen "av", vilket förmå betyda såväl multiplikation vilket division.

Exempel 11

  1. Olle satsade 20 kr samt Stina 50 kr.

    Olles andel existerar  \displaystyle \frac{20}{50 + 20} = \frac{20}{70} = \frac{2}{7}  samt denne bör alltså ett fåtal  \displaystyle \frac{2}{7} från vinsten.


  2. Hur massiv sektion utgör 45 kr från 100 kr?



    Svar: 45 kr existerar  \displaystyle \frac{45}{100} = \frac{9}{20}  från 100 kr.



  3. Hur massiv sektion utgör \displaystyle \frac{1}{3} liter från \displaystyle \frac{1}{2} liter?

    Svar:\displaystyle \frac{1}{3} liter existerar \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{1}{2}} = \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{1} = \frac{2}{3}   från  \displaystyle \frac{1}{2} liter.


  4. Hur många existerar  \displaystyle \frac{5}{8}   från 1000?

    Svar:\displaystyle \frac{5}{8}\cdot 1000 = \frac{5000}{8} = 625


  5. Hur många existerar  \displaystyle \frac{2}{3}  från  \displaystyle \frac{6}{7} ?

    Svar:\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\frac{6}{7} = \frac{2}{\not{3}} \cdot \frac{2 \cdot \not{3}}{7} = \frac{2 \cdot 2}{7} = \frac{4}{7}

Blandade formulering

När bråk förekommer inom räkneuttryck gäller självklart metoderna till dem fyra räknesätten likt vanligt, samt prioriteringsreglerna (multiplikation/division före addition/subtraktion).

Kom även minnas för att täljare samt nämnare inom en divisionsuttryck beräknas fanns till sig innan divisionen utförs ("osynliga parenteser").

Exempel 12

  1. \displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{2}{3}+\frac{3}{4}} = \frac{1}{\displaystyle \frac{2\cdot 4}{3\cdot 4} + \frac{3\cdot 3}{4\cdot 3}} = \frac{1}{\displaystyle \frac{8}{12} + \frac{9}{12}} = \frac{1}{\displaystyle \frac{17}{12}} = 1\cdot\frac{12}{17} = \frac{12}{17}


  2. \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{4}{3} - \frac{1}{6}}{\displaystyle \frac{4}{3}+\frac{1}{6}} = \frac{\displaystyle \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}}{\displaystyle \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6}} = \frac{\displaystyle \frac{8}{6} - \frac{1}{6}}{\displaystyle \frac{8}{6} + \frac{1}{6}} = \frac{\displaystyle \frac{7}{6}}{\displaystyle \frac{9}{6}} = \frac{7}{\not{6}}\cdot\frac{\not{6}}{9} = \frac{7}{9}


  3. \displaystyle \frac{3-\displaystyle \frac{3}{5}}{\displaystyle \frac{2}{3}-2} = \frac{\displaystyle \frac{3 \cdot 5}{5}- \frac{3}{5}}{\displaystyle \frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 3}{3}} = \frac{\displaystyle \frac{15}{5} - \frac{3}{5}}{\displaystyle \frac{2}{3} - \frac{6}{3}} = \frac{\displaystyle \frac{12}{5}}{-\displaystyle \frac{4}{3}} = \frac{12}{5}\cdot\left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{3\cdot \not{4} }{5} \cdot \frac{3}{\not{4}} = -\frac{3\cdot 3}{5} = -\frac{9}{5}


  4. \displaystyle \frac{\displaystyle\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}-\frac{3}{5} \cdot\frac{1}{3}}{\displaystyle\frac{2}{3}\big/\frac{1}{5} -\frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{3}}{2}} = \frac{\displaystyle\frac{1}{\frac{3}{6}+\frac{2}{6}} -\frac{3\cdot1}{5\cdot3}}{\displaystyle\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{1} -\frac{\frac{3}{12}-\frac{4}{12}}{2}} = \frac{\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{5}{6}} - \frac{1}{5}}{\displaystyle \frac{10}{3} - \frac{-\displaystyle \frac{1}{12}}{2}}\displaystyle \qquad\quad{}= \frac{\displaystyle \frac{6}{5} - \frac{1}{5}}{\displaystyle \frac{10}{3} + \frac{1}{24}} = \frac{1}{\displaystyle \frac{80}{24}+\frac{1}{24}} = \frac{1}{\displaystyle \frac{81}{24}} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}

Övningar

Råd på grund av inläsning

Grund- samt slutprov

Efter för att ni äger läst texten samt arbetat tillsammans med övningarna bör ni utföra grund- samt slutprovet till för att bli erkänd vid detta del.

Här visar vi hur man genomför addition samt subtraktion av bråk med olika nämnare

ni hittar länken mot proven inom din lärjunge lounge.


Tänk vid att:

Sträva ständigt efter för att nedteckna en formulering inom enklast tänkbara struktur. vilket liksom existerar "enklast" beror dock oftast vid sammanhanget.

Det existerar viktigt för att ni verkligen kontrollerar eller är skicklig i bråkräkning. för att ni förmå hitta enstaka gemensam nämnare, göra kortare samt förlänga etc.


  • subtraktion från bråk tillsammans identisk nämnare

    • Principerna existerar nämligen primär då man bör räkna tillsammans med rationella formulering likt innehåller variabler samt på grund av för att ni bör behärska hantera andra matematiska formulering samt operationer.

    Rationella formulering tillsammans med bråk vilket innehåller variabler (x, y, ...) existerar många vanliga då man studera funktioner, speciellt ändringskvoter, toleransnivåer samt derivata.


    Lästips

    För dig såsom önskar fördjupa dig ytterligare alternativt behöver enstaka längre förklaring.

    Läs mer ifall bråk samt bråkräkning inom engelska Wikipedia

    Bråkräkning - Fri ord


    Länktips

    Experimentera interaktivt tillsammans bråk

    Spela primtalskanonen