Hur man räknar ut derivata

Tidigare lärde oss oss hur formeln till derivatans definition fungerar samt hur oss tillsammans hjälp från den förmå beräkna derivatan inom enstaka viss punkt till ett given funktion. Dock är kapabel detta existera ofint för att behöva komma tillbaka mot derivatans definition varenda gång man bör derivera (räkna ut toleransnivåer för) enstaka funktion.

Derivatan betecknas olika inom olika litteratur.

2x^3 + 5x + 10

T ex \(f '(x)\) samt \( \frac{d(f(x))}{dx}\) . på denna plats använder oss \(f '(x)\). Beteckningen \( \frac{d(f(x))}{dx}\) kallas deriveringsoperator såsom påförs ett funktion \(f(x)\).

Det finns deriveringsregler likt kunna härledas utifrån derivatans definition samt sedan används på grund av för att beräkna derivatan på grund av en antal vanligt återkommande funktioner.

I tidigare segment beräknade oss derivatan inom ett punkt.

för tillfället skall oss beräkna derivatan på grund av varenda x inom funktionens all definitionsmängd. Då ersätter man punkten a tillsammans variabeln x. Derivatan blir då inom sig ett funktion inom identisk definitionsmängd.

Men innan oss börjar kolla vid deriveringsreglerna tar oss enstaka repetition från funktionsbegreppet.

Mer ifall funktionsbegreppet inom Matte 1 samt Matte 2.

Funktionsbegreppet existerar centralt på grund av derivatan.

En funktion f existerar enstaka regel/flera regler var enstaka input omvandlas mot output (se bild).

T ex plast in inom ett maskin samt ut kommer muggar. Volymkontroll ökas vid ett förstärkare, därför ökas volymen. varenda inställt värde vid volymkontrollen medför enstaka viss utfall ut.

Mer formellt existerar ett funktion ett regel såsom avbildar ett definitionsmängd från x entydigt vid enstaka värdemängd f(x).

På identisk sätt existerar d/dx enstaka regel vilket äger f '(x) likt output, osv.

Vi bör idag härleda några från dem enklaste samt nyttigaste deriveringsreglerna.

detta viktigaste existerar ej för att behärska härleda dessa vid personlig grabb, utan främst för att behärska följa tillsammans med inom samt förstå härledningen, samt för att sedan behärska nyttja dem deriveringsregler såsom oss kommer fram till.

Förstagradsfunktioners derivata

Låt oss börja tillsammans med ett lätt linjär funktion samt beräkna dess derivata:

$$f(x)=5x$$

$$f{}'(x)=\lim_{h \to 0 }\frac{5(x+h)-5x}{h}=\frac{5h}{h}=5$$

Här ser oss för att derivatan existerar densamma på grund av samtliga värden vid x - derivatan existerar ständigt 5 till denna funktion.

Om oss studera beräkning ovan är kapabel oss ana oss mot för att detta finns en allmänt samband mellan den enkla raka funktionens k-värde samt derivatan (som ni nog minns bestämmer k-värdet just ett linje lutning samt existerar lika på grund av samtliga punkter längs linjen):

$$f(x)=ax$$

$$f{}'(x)=a$$

Nästa modell existerar räta linjens ekvation: y = f(x) = kx+m
Använder oss derivatans definition 

$$f{}'(x)=\lim_{h \to 0 }\frac{k(x+h)+m-(kx+m)}{h}= \\ =\frac{kx+kh+m-kx-m}{h}=\frac{kh}{h}=k$$

Precis vilket inom avsnittet innan ser oss för att f '(x) = k, detta önskar yttra derivata inom punkten x  existerar lika tillsammans k-värdet, riktningskoefficienten.

Andragradsfunktioners derivata

Vi kalkylerar för tillfället derivata till enstaka lätt andragradsfunktion:

$$f(x)=3x^{2}$$

$$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3(x+h)^{2}-3x^{2}}{h}=$$

$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3(x^{2}+2xh+h^{2})-3x^{2}}{h}=$$

$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3x^{2}+6xh+3h^{2}-3x^{2}}{h}=$$

$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{6xh+3h^{2}}{h}= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{h(6x+3h)}{h}=$$

$$=\lim_{h\rightarrow 0}(6x+3h)=6x $$

I detta på denna plats exemplet fick oss alltså följande:

$$f(x)=3x^{2}$$

$$f'(x)=6x$$

Sambandet mellan denna enkla andragradsfunktion samt denna andragradsfunktions derivata existerar ej lika enkel för att titta vilket på grund av den enkla förstagradsfunktionen, dock således denna plats ser detta generella sambandet ut på grund av fallet tillsammans med enkla andragradsfunktioner:

$$f(x)=ax^{2}$$

$$f'(x)=2ax$$

Tredjegradsfunktioners derivata

På identisk sätt vilket oss såg för att oss kunde utföra till enkla andragradsfunktioner, kunna oss härleda enkla tredjegradsfunktioners derivata.

För ett lätt exempelfunktion från tredjeplats graden får oss nästa derivata:

$$f(x)=2x^{3}$$

$$f'(x)=6x^{2}$$

Det allmänna sambandet på grund av enkla tredjegradsfunktioner samt deras derivata ser ut således här:

$$f(x)=ax^{3}$$

$$f'(x)=3ax^{2}$$

Innan oss tittar vid hur polynomfunktionerna deriveras allmänt tittar oss vid "nolltegradsfunktionen" detta önskar yttra x⁰ liksom motsvarar funktioner likt besår från enbart enstaka konstant term.

Nolltegradsfunktioners derivata

En nolltegradsfunktion existerar enstaka funktion tillsammans med enstaka x⁰-term liksom den begrepp likt äger högst gradtal.

en modell vid ett sådan funktion existerar följande:

$$f(x)=5 $$

För för att titta för att detta denna plats verkligen existerar enstaka nolltegradsfunktion kunna man notera ifall uttrycket sålunda här:

$$f(x)=5=5\cdot 1 \Rightarrow$$

$$\Rightarrow \left \{ x^{0}=1 \right \} \Rightarrow $$

$$\Rightarrow 5\cdot 1=5\cdot x^{0}$$

Denna funktions graf existerar ett horisontell linje (alltså ett linje såsom existerar parallell tillsammans med x-axeln).

enstaka sådan linje borde äga lutningen k=0, vilket även borde existera värdet vid funktionens derivata.

Vi använder derivatans definition:

$$f(x)=5=5x^{0}$$

$$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{5(x+h)^{0}-5x^{0}}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{5-5}{h}= $$

$$=\lim_{h \to 0}\frac{0}{h}=\lim_{h \to 0}0=0$$

Denna nolltegradsfunktions derivata blev många riktigt lika tillsammans med 0, likt väntat.

inom själva verket är kapabel man upprepa härledningen ovan till enstaka godtycklig nolltegradsfunktion \(f(x) = a\) samt komma fram mot för att derivatan blir lika tillsammans med 0.

Det generella sambandet mellan enstaka nolltegradsfunktion samt dess derivata blir alltså:

$$f(x)=a$$

$$f'(x)=0$$

Viktigt för att tänka vid existerar för att oss kan inte ursprunglig sätta in punkten inom funktionen samt sen derivera i enlighet med deriveringsreglerna.

y = f (x) = resultat Verktyget här ovan kan hjälpa dig att snabbt derivera enklare funktioner

liksom modell, beräkna \(f '(2)\) till funktionen

$$f(x) = x^2 $$

om oss ursprunglig sätter in x = 2 får oss \(f(2) = 4\) samt då skulle \(f '(2) = 0\) i enlighet med deriveringsreglerna. Därför måste oss ursprunglig derivera tillsammans avseende vid variabeln x och oss får istället

$$f'(x) = 2x$$

$$f'(2) = 4$$

Detta beror vid för att derivatan bara är kapabel tas vid ett funktion \(f(x)\) ifall oss söker \(f'(x)\) inom ett godtycklig punkt.

titta funktionsbegreppet tidigare.

N-tegradsfunktioners derivata

Om man deriverar enkla polynomfunktioner från högre gradtal tillsammans med hjälp från derivatans definition, visar detta sig för att deras derivata följer en allmänt mönster då dem existerar från gradtal n (n ≠ 0):

$$f(x)=a\cdot x^{n}$$

$$f'(x)=an\cdot x^{n-1}$$

Derivata till polynomfunktioner tillsammans flera termer

Nu besitter oss undersökt derivatan på grund av enkla polynomfunktioner från olika gradtal.

dock vad sker angående oss äger enstaka polynomfunktion vilket innehåller begrepp från olika gradtal?

e^x

en modell vid ett sådan polynomfunktion existerar följande:

$$f(x)=x^{2}+3x$$

Att härleda detta funktionsuttrycks derivata går för att utföra vid identisk sätt såsom oss gjort tidigare på grund av enklare funktioner, tillsammans med hjälp från derivatans definition. angående oss äger räknat riktig således kommer oss fram mot nästa samband mellan denna exempelfunktion samt dess derivata:

$$f(x)=x^{2}+3x$$

$$f'(x)=2x+3$$

Om oss jämför termerna inom uttrycket på grund av derivatan tillsammans med funktionen inom detta modell, därför ser oss för att dessa motsvarar summan från derivatan från dem detaljerad termerna inom detta ursprungliga funktionsuttrycket.

Generellt kunna man yttra för att sambandet mellan enstaka polynomfunktion såsom består från flera begrepp samt denna funktions derivata följer denna regel:

$$f(x)=a(x)+b(x)$$

$$f'(x)=a'(x)+b'(x)$$

Alltså: derivatan på grund av läka polynomfunktionen får man genom för att summera derivatan till varenda begrepp inom funktionen till sig.

Deriveringsreglerna

Vi sammanfattar resultatet ovan inom enstaka tabell:

\(f(x)\)	\(f'(x)\)
k	0
\(x\)	1
\(x^2\)	\(2x\)
\(x^3\)	\(3x^2\)
\(x^4\)	\(4x^3\)
\(\dots\)	\(\dots\)
\(x^n\)	\(n\cdot x^{n-1}\)

 Där k existerar ett konstant.

Derivatan på grund av några andra vanligt förekommande funktioner

Vi bör även derivera några andra vanliga funktioner, dock utan härledning tillsammans med hjälp från derivatans definition.

oss nöjer oss tillsammans för att derivera utifrån reglerna oss nyss kommit fram till.

Vi börjar tillsammans när x är nämnare inom enstaka kvot.
$$f(x)= \frac{1}{x}$$

Vi kunna i enlighet med potensreglerna notera angående den därför här

$$f(x)= \frac{1}{x} = x^{-1}$$

Nu förmå oss derivera denna funktion i enlighet med reglerna till xⁿ

$$f'(x) = (-1)\cdot x^{-1-1}= -x^{-2} $$

Vi skriver idag åter den likt enstaka kvot

$$f'(x) = -x^{-2} = \frac{-1}{x^2} $$

Nästa funktion existerar en enkelt fall var variabeln ligger inom en rotuttryck:

$$f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

$$f'(x)=\frac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}=$$

$$=\frac{1}{2\cdot x^\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}$$

Deriveringsregel:

$$f(x)=\sqrt{x}$$

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Enkelt fall tillsammans funktion var exponenten existerar negativ:

$$f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}$$

$$f{}'(x)=-1\cdot x^{-1-1}=-x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}$$

Deriveringsregel:

$$f(x)=\frac{1}{x}$$

$$f{}'(x)=-\frac{1}{x^{2}}$$

Sista exemplet existerar då oss undersöker hur detta ser ut ifall oss äger enstaka konstant multiplicerat tillsammans ett funktion.

$$f(x) = k \cdot g(x) $$

När oss deriverar detta får helt enkelt

$$f'(x)= k \cdot g'(x) $$

Vad innebär detta?

Jo ifall oss vet för att funktionen \(f(x)=\sqrt{x} \) besitter derivatan \(f'(x) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}\) således gäller i enlighet med regeln ovan för att på grund av funktionen 

$$f(x) = 3\sqrt{x}$$

har derivatan 

$$f'(x) = 3 \cdot \frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}=\frac{3}{2\cdot \sqrt{x}}$$